已知g(x)=-x^2-3,f(x)是二次函数,f(x)+g(x)是奇函数,且当x∈[1,2]时,f(x)的最小值为1,求f(x)的表达式
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/05/21 01:52:30
因为f(x)为二次函数,设为f(x)=ax²+bx+c
首先,f(x)+g(x)是奇函数,设这个奇函数为T(x)
所以T(0)=0,又g(x)=-x²-3
代入得 T(0)=f(0)+g(0)=c-3=0
∴c=3 → f(x)=ax²+bx+3
奇函数T(x)有T(1)+T(-1)=0
代入得:T(1)+T(-1)=f(1)+g(1)+f(-1)+g(-1)
=a+b+3-4+a-b+3-4
=2a-2
=0
∴a=1 →f(x)=x²+bx+3 图像开口向上,对称轴为x=-b/2
(结合图像分类讨论)
①对称轴在-1左边,即x=-b/2<-1时→b>2
图像在x∈[-1,2]最小为x=-1时得到,
代入f(-1)=1-b+3=1, b=3>2,成立;
②对称轴在[-1,2]之间时,-1≤-b/2≤2时→2≥b≥-4
图像x=-b/2时最小
代入f(-b/2)=b²/4-b²/2+3=-b²/4+3=1→b=±2√2(±2根号2)
又2≥b≥-4, 2√2>2,舍去,-2√2符合,成立;
③对称轴在2右边,即边x=-b/2>2时→b<-4
图像在x∈[-1,2]最小为x=2时得到,
代入f(2)=4+2b+3=1b=-3>-4,舍去。
综上所述,b取值为3或-2√2。
所以f(x)=x²+3x+3 或 f(x)=x²-2√2x+3。
(做的比较匆忙,你检查下看看对不对哦,祝你学习愉快!~~)
这是高中的知识哦,好像还有康托的集合论,对不起,我才读初三,二次函数和锐角三角函数都没学,对不起了!
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